2016年電験1種　機械制御問1

電験1種 機械制御 電験

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 (1)

二次電流は、\dot{E}_2を基準ベクトルとすると、

\displaystyle{ \dot{I}_2 = \frac{s E_2 }{r_2 + \sqrt{-1} s x_2} }

\displaystyle{ \therefore | \dot{I}_2 | = I_2 = \sqrt{s E_2}{\sqrt{ {r_2}^2 + ( s x_2)^2}} }

 

\displaystyle{ P_2 = 3 \frac{r_2}{s} {I_2}^2 = 3 {E_2}^2 \frac{s r_2}{{r_2}^2+(s x_2)^2} }

 

(2) 

同期ワットで表した二次入力は

\displaystyle{ P_2 = 3 \frac{r_2}{s_m} {I_2}^2 = 3 {E_2}^2 \frac{s_m r_2}{{r_2}^2+(s_m x_2)^2} = \frac{3 {E_2}^2 r_2}{\frac{ {r_2}^2}{s_m} + s_m {x_2}^2} }

分子とr_2,x_2は定数なので、最大P_{2m}になるためには分子が極小、

\displaystyle{ \frac{d}{d s_m} \left\{\frac{{r_2}^2}{s_m} + s_m {x_2}^2 \right\} = - \frac{{r_2}^2}{{s_m}^2} + {x_2}^2 =0 }が必要条件。

\displaystyle{ \frac{{r_2}^2}{{s_m}^2} = {x_2}^2 }

\displaystyle{ s_m = \frac{r_2}{x_2}= 0.2, x_2 = 5 r_2}

\displaystyle{ P_{2m} = 3 }

\displaystyle{3 {E_2}^2 \frac{s_m r_2}{2 {r_2}^2} = 0.3 \frac{ {E_2}^2}{r_2} }

 

(3) 

x_2= 5 r_2 , s_1=0.02を用いて、

\displaystyle{ P_2 = 3 {E_2}^2 \frac{s_1 r_2}{{r_2}^2 + (s_1 x_2)^2} = 3 {E_2}^2 \frac{0.02 r_2}{{r_2}^2 +(0.02\times 5 r_2)^2} = 3 \times \frac{0.02}{1.01} \frac{{E_2}^2}{r_2} \Doteq 0.0594059  \frac{{E_2}^2}{r_2}  \Doteq 0.0594 \frac{{E_2}^2}{r_2} }

 

二次入力P_2のうち、機械的出力(1-s_1)P_2を差し引いた残りの二次電力s_1P_2は銅損P_{C2}となり、

\displaystyle{ P_{C2}= s_1 P_2 \Doteq 0.02 \times 0.0594059 \frac{{E_2}^2}{r_2} \Doteq 0.00118812 \frac{{E_2}^2}{r_2} \Doteq 0.00119 \frac{{E_2}^2}{r_2}  }

 

 (4)

負荷トルクは変わらないので、滑りs_2は比例推移によって、

\displaystyle{\frac{s_2}{s_1} = \frac{r_2+R_2}{r_2} = 2 }

s_2 = 0.02 \times 2 = 0.04

 

二次側損失

\displaystyle{P_{W2} = s_2 P_2 = \frac{s_2}{s_1} \times P_{C2} = 2 \times P_{C2} \Doteq 2 \times 0.00118812 \frac{{E_2}^2}{r_2}  \Doteq 0.00237624 \frac{{E_2}^2}{r_2}  \Doteq 0.00238 \frac{{E_2}^2}{r_2}  }

 

(5)

|s_2 \dot{E}_2 - \dot{E}_B |= s_2 E_2 - E_Bなので、\dot{E}_2を基準ベクトルとして、二次電流

\displaystyle{ \dot{I}_2 = \frac{s_2 E_2 - E_B}{r_2 + \sqrt{-1} s_2 x_2 } }

と書ける。よって、二次入力は

\displaystyle{ {P_2}"=  \mathrm{Re} [ 3 E_2 \dot{I}_2] = 3 E_2 \mathrm{Re} \left[ \frac{s_2 E_2 - E_B}{r_2 + \sqrt{-1} s_2 x_2 } \right] } = \frac{3 E_2 ( s_2 E_2 - E_B) r_2}{{r_2}^2+ (s_2 x_2)^2} }]

となる。s_2=0.04,x_2=5 r_2の関係を用いて、

\displaystyle{ {P_2}" = 3 E_2 \frac{ 0.04 E_2 - E_B }{1.04 r_2} }

負荷トルクは一定（{P_2}"=P_2）であるから

\displaystyle{ {P_2}" = 3 E_2 \frac{ 0.04 E_2 - E_B }{1.04 r_2} = P_2 = 3 \times \frac{0.02}{1.01} \frac{{E_2}^2}{r_2} }

\displaystyle{0.04 E_2 -E_B = \frac{0.02 \times 1.04}{1.01} \times E_2 }

\displaystyle{ E_B = E_2 \left( 0.04 - \frac{0.02\times 1.04}{1.01} \right) \Doteq 0.0194059 E_2 \Doteq 0.0194 E_2}

 

銅損

\displaystyle{ {P_{C2}}" = 3 | \dot{I}_2|^2 r_2 = 3 \left( \frac{0.04E_2 - E_B}{\sqrt{1.04}r_2} \right)^2 r_2 \Doteq 3\times \frac{0.0205941^2}{1.04} \frac{{E_2}^2}{r_2} \Doteq 0.00122341 \frac{{E_2}^2}{r_2} \Doteq 0.00122 \frac{{E_2}^2}{r_2} }

となる。二次励磁回路へ返還する電力P_Bは、

\displaystyle{ P_B = \mathrm{Re}[ 3 E_B \dot{I}_B ] = \mathrm{Re}\left[ 3 E_B \frac{s_2 E_2 - E_B}{r_2 + \sqrt{-1}s_2 x_2 } \right] = 3E_B \frac{0.04E_2 - E_B}{1.04 r_2} }

\displaystyle{ \Doteq 3 \times 0.0194059E_2 \times \frac{ 0.04 E_2 - 0.0194059E_2}{1.04r_2} \Doteq 0.00115283 \frac{{E_2}^2}{r_2} \Doteq 0.00115 \frac{{E_2}^2}{r_2} }