Heavisideの部分分数展開の証明

代数学

有理関数（分母と分子に共通の因子はない）

\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{K ( x-z_1)^{h_1}(x-z_2)^{h_2}\cdots(x-z_m)^{h_m}}{(x-p_1)^{k_1}(x-p_2)^{k_2}\cdots(x-p_n)^{k_n}} }

において

g(x)=(z-p_1)^{k_1}\psi(x)

と書く。

\displaystyle{q_0=\frac{f(p_1)}{\psi(p_1)}}

とおく（\psi(x)は(x-p_1)の因子を持たないので定義可能）と、

f(p_1)-q_0 \psi(p_1)=0\tag{*1}

\displaystyle{\frac{f(x)-q_0 \psi(x)}{g(x)}=\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{q_0}{(x-p_1)^{k_1}}}\tag{*2}

(*1)から(*2)の右辺は(x-z_1)で約すことができるから、右辺の有理関数においてはx=p_1はk-1次以下の極である。

\displaystyle{\frac{f(x)-q_0 \psi(x)}{g(x)}=\frac{f_1(x)}{(x-p_1)^{k_1-1}\psi(x)}}

\displaystyle{q_1=\frac{f_1(p_1)}{\psi(p_1)}}

f_1(p_1)-q_1\psi(p_1)=0

\displaystyle{\frac{f(x)-q_0 \psi(x) - q_1(x-p_1) \psi(x)}{g(x)}=\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{q_0}{(x-p_1)^{k_1}} - \frac{q_1}{(x-p_1)^{k_1-1}}}

このように\displaystyle{\frac{q_1}{(x-p_1)^{k_1-1}}}のような有理関数を引いて、再び極の次数を低下させることができるから、この操作を続行すれば、

\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{q_0}{(x-p_1)^{k_1}} + \frac{q_1}{(x-p_1)^{k_1-1}} + \cdots + \frac{q_{k-1}}{(x-p_1)} + \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}}

のようになる。f(x)がg(x)よりも低次でないときには、fをgで割って商をQ(x)、剰余をf_0(x)とすれば、

\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}= Q(x) + \frac{f_0(x)}{g(x)}}

x-p_1,x-p_2,\ldotsに関する\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}}の部分分数をP_1,P_2,\ldotsとする。

\displaystyle{P_1= \frac{q_0}{(x-p_1)^{k_1}} + \frac{q_1}{(x-p_1)^{k_1-1}}+ \cdots + \frac{q_{k_1-1}}{(x-p_1)} }

\displaystyle{P_2= \frac{q'_0}{(x-p_2)^{k_2}} + \frac{q'_1}{(x-p_2)^{k_2-1}}+ \cdots + \frac{q_{k_2-1}}{(x-p_2)} }

\displaystyle{F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}-( Q(x) + P_1 + P_2 + \cdots )}

とすれば、F(x)は分母がg(x)なる文数式であるが、x\to p_1のときには、

\displaystyle{F(x)=\left( \frac{f(x)}{g(x)}-P_1\right) - Q(x) - P_2 - \cdots}

として見れば、\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}-P_1}は有限の値に近づき、[tex:Q(x),P_2,\ldotsももちろん有限であるから、F(x)は有限の値に近づく。ゆえにF(x)の分母から(x-p_1)^{k_1}という因数が約されてしまわなければならない。x-p_2,\ldotsに関しても同様であるから、F(x)は整関数になる。

\displaystyle{F(x)=\left(\frac{f(x)}{g(x)}-Q(x)\right) - P_1 - P_2 - \cdots }

として見れば、x\to \inftyのとき\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}-Q(x)\to 0}。また、P_1 \to 0 , P_2 \to 0, \ldotsである。よって整関数F(x)はx\to \inftyのとき0になる。ゆえにF(x)は定数0に等しい。

すなわち

\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}=Q(x) + P_1 + P_2 + \cdots }