ビオ・サバールの法則の例　直線電流の作る磁場

電験

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直線電流

原点Oを通るs軸上を流れる電流Iがある。原点Oを通りs軸と直交するt軸がある。

s軸上の点A \lt 0 , B \gt 0とt軸上の点P \gt 0を定め、直線ABが点Pに作る磁場を求める。

OPの長さをRとする。\theta=\angle PsO、\theta_1=\angle PAO,\theta_2 = \pi - \angle PBO、Psの長さをrとする。

\displaystyle{\frac{R}{s}=\tan \theta, r \sin \theta = R}

\displaystyle{\frac{s}{R} =\cot \theta, r= R \mbox{cosec} \theta}

\displaystyle{ds = R d\cot \theta=\frac{R}{\sin^2 \theta} d\theta=R \mbox{cosec}^2 \theta d\theta}

\displaystyle{dB = \frac{\mu_0 I \sin \theta}{4 \pi r^2} ds = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R} \sin \theta d\theta}

\displaystyle{B(P)= \frac{\mu_0 I}{4 \pi R} \int _{\theta_2}^{\theta_1} \sin \theta d \theta = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R}(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)}

無限に長い直線電流のとき\theta_1 \rightarrow 0,  \theta_2 \rightarrow \piであるから

\displaystyle{ B(P)\rightarrow \frac{\mu_0 I}{2 \pi R} }

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