ビオ・サバールの法則の例 円形電流の中心軸上に作られる磁場

円形電流

平面上の原点を中心とした半径の円形回路上に強さの定常電流が流れている。円の中心軸上の点における磁場を求める。

電流素片の方向と電流素片から見た観測点の方向は直交していて、。したがって、電流素片のに作る磁場の大きさは

\begin{equation}dB = \frac{\mu_0 I ds}{4 \pi R^2}\end{equation}

この磁場のうち水平方向の成分は対称性により1周の積分で消える。

したがって、全体の磁場に寄与するのは垂直方向の成分だけである。

\begin{eqnarray}B(P) & = & \frac{\mu_0 I \cos \alpha}{4 \pi R^2}\int ds \\
& = & \frac{\mu_0 I \cos \alpha}{4 \pi R^2} 2\pi a \\
& = & \frac{\mu_0 I}{2 R^2} \frac{a}{R} a \\
& = & \frac{\mu_0 I a^2}{2 (z^2 + a^2)^{\frac{3}{2}}} 
\end{eqnarray}

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